Logaritma

TANIM

a R⁺ -{1} ve  x R⁺ olmak üzere, a^y = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

aR⁺-{1}, xR⁺ ve yR olmak üzere,

ay=x Û y=log_a x tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:

1) log₂ 8 = y Þ 8= 2^y Þ y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3 Þ 64 = a³ Þ a = 4 tür.

3) log₃ x = -2 Þ x = 3^-2 Þ x =  dur.

4) log_a a = x Þ a = a^x Þ x = 1 dir.

5) log_a 1 = n Þ 1 = aⁿ Þ n = 0 dır.

6) log₅ (-25) v= m Þ -25 = 5^m Þ mR dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 Þ log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1 Þ log₂ x = 3¹ Þ x = 2³ = 8 dir.

Örnek:

Log₃ (a³.b.c) = 5      log₃ = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log₃(a³.b.c) = 5 Þ  a3.b.c = 3⁵

log₃=1    Þ      =3¹

x

a3.b3 = 3⁶

a.b = 3²

a.b = 9 dur.

Örnek:

log ₃a = 3 ve logb = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log ₃a = 3 Þ a = ³ Þ a = 2 dir.

logb = 4   Þ b = ⁴ Þ b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.

ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log₁₀ 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = log_e x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:

Log_e e = ln e = 1 dir.